Die platonischen Körper in Bezug
zur Pythagoreischen Tetraktys
Achtung, diese Ausarbeitung ist noch
in Entwicklung! Hier einige Gedanken dazu:
Die platonischen Körper inklusive Sternkörper
sind Teil eines Systems – der Tetraktys.
Diese beschreibt den Raum in erster Instanz
in den drei Dimensionen: 1. Ecke, 2. Kante, 3. Fläche, 4. Raum
entsprechend dem Tetraeder:
Von den 5 platonischen Körpern wird gesagt, sie seien die einzigen perfekt regelmäßigen Körper im dreidimensonalen Raum – abgesehen von der Kugel (Sphäre). Diese Aussage ist nur bedingt richtig, denn zu den konvexen platonischen Körpern gehören auch die entsprechenden konkaven Sternkörper, die vier Kepler-Poinsot-Körper und eventuell auch das Sterntetraeder.
Fußbodenmosaik aus dem Eingangsbereich von San Marco in Venedig nach einem Entwurf von Paolo Uccello (um 1445).
Erste bekannte Darstellung eines kleinen Sterndodekaeders.
In zweiter Instanz sollten die Raumwinkel
untersucht werden, die immer in ein
Verhältnis zu einem vollen Kreis, bzw.
einer vollen Sphäre (Kugel) zu setzen sind.
Die neben stehende Animation zeigt die 6- und
10-eckige Symmetrieansicht der 4 Kepler-Poinsot-Körper, die sich auch direkt vom Ikosaeder und Dodekaeder ableiten.
Der Zusammenhang zwischen den platonischen Körpern und den Startfiguren der Teilereigenschaften natürlicher Zahlen lässt sich also schon optisch nicht leugnen.
Lesen Sie dazu: DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS
3D-Animation platonische Körper
Name
Tetraeder
Oktaeder
Hexaeder
Ikosaeder
Dodekaeder
Ecken
4
6
8
12
20
Kanten
6
12
12
30
30
Flächen
4
8
6
20
12
Dualität
selbst dual
dual mit Hexaeder
dual mit Oktaeder
dual mit Dodekaeder
dual mit Ikosaeder
Parkettier-
barkeit
parkettierbar im Verbund
mit dem Oktaeder
parkettierbar im Verbund
mit dem Tetraeder
allein mit sich selbst
parkettierbar
nicht parkettierbar
nicht parkettierbar
Startfiguren der Tetraktys gemäß der Teilbarkeit nat. Zahlen wie hier beschrieben
Prinzipien
aufkumuliert
DIe letzte Spalte dieser Tabelle zeigt die Zuordnung der platonischen Körper zu den geometrischen Entsprechungen von Teilereigenschaften natürlicher Zahlen in den Simplexen.
Die Zuordnung aufrechter und gestürzter
Polygone und Sternpolygone kann natürlich nicht festgeschrieben sein, da wir es ja mit regelmäßigen Figuren zu tun haben, bei denen es kein Oben und Unten geben kann.
Es sollen lediglich die dualen Beziehungen
zwischen den zwei dualen Paaren von 3-Eck
und 5-Stern (2,5) aufkumuliert gezeigt werden.
Auch rechte Winkel (Kreuzform) sind in allen fünf platonischen Körpern direkt oder indirekt vorhanden.
Denn alle platonischen Körper lassen sich wechselseitig sowohl um- als auch einbeschreiben.
Die rechts stehende Animation soll als Beispiel gelten, was damit gemeint ist. Zu sehen ist ein Dodekaeder, welches sich mit genau 5 Hexaedern (Kuben) einbeschreiben lässt. Auf jede der 12 Dodekaeder-Flächen trifft eine der 12 Kubus-Kanten. 5 Kuben lassen demnach 12 Pentagramme entstehen.
Auf diese Weise enthält das Dodekaeder indirekt ebenfalls die rechten Winkel des Hexaeders.
Da sich dem Hexaeder wiederum exakt zwei Tetraeder einbeschreiben lassen (Sterntetraeder), welche an den Hexeaderflächen sich überkreuzende Tangenten bilden, enthält auch das Dodekaeder insgesamt 10 Tetraeder inklusive aller Kreuze auf den 6 Kubus-Flächen, also insgesamt 30.
Rechts eine Übersicht der drei Symmetrieansichten
der platonischen Körper, Ecken-Ansicht, Kanten-Ansicht, Flächen-Ansicht.
Diese 2D-Projektionen der platonischen Körper
zeigen Polygone mit der gleichen Eckenanzahl
wie die Startfiguren des Teilereigenschaften
entsprechend der Teilbarkeit natürlicher Zahlen. In den ersten Produkten der ersten Primzahlen 2, 3 und 5,nämlich 4, 6 und 10, gehen auch die entsprechenden Ecken, Kanten und Flächen auf:
4, 6, 8, 12, 20, 30. Näheres dazu unter dem oben bereits gesetzten Link: DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS
Spätestens hier taucht unweigerlich wieder die alte und in diesem besonderen hier gezeigten Zusammenhang äußerst interessante Frage auf, warum es nur 5 platonische Körper geben kann.
Die Antwort ist ebenso alt und man findet sie natürlich auch ausführlich in Wikipedia beschrieben.
Hier die Zusammenfassung:
• Für jede Polyederecke ist die Summe der
Innenwinkel aller angrenzenden Flächen kleiner
als 360°. Wäre sie genau 360°, würden die Flächen
in einer Ebene liegen; auch bei mehr als 360° wäre keine Ecke möglich.
• Andererseits müssen sich an jeder Ecke eines Polyeders mindestens drei Flächen treffen.
Tiefere Einblicke zu dieser Thematik zeigen
sich bei genauerer Betrachtung der Dualitäten, sowie
den entsprechenden Schnittmengen, Hüllkörpern und
Sternkörpern.
DIE DURCHDRINGUNGSKÖRPER ALS VERANSCHAULICHUNG DER DUALITÄTEN UND DER TETRAKTYS
Das Tetraeder weist mit seinen 4 Ecken die minimale Vorrausetzung eines 3D-Körpers auf: Zur Veranschaulicheung dazu noch einmal
die "Tetraktys des Raumes":
1 Punkt = 1 Ecke 1 Linie = Strecke = 2 Ecken = 1 Kante 1 Dreieck = Fläche = 3 Ecken = 1 Fläche 1 Tetraeder = Raum = 4 Ecken = 1 Körper
Das Tetraeder-Netz (siehe rechte Abb.) entspricht einem Fraktal, welches auch in der Zahlentheorie von Bedeutung ist. siehe: Simplex – multidimensionale Tetraeder
Die jeweiligen Dreieckflächen der unten gezeigten Dualitäten sind echte Fraktale Die quadratischen Flächen der Oktaeder-Hexaeder-Durchdringung sowie die Fünfeck-Flächen der Ikosaeder-Dodekaeder- Durchdringung folgen diesem Algorithmus nicht.
Bei allen Durchdringungskörpern wiederholt sich
das Schema des Tetraeder-Fraktals.
Alle platonischen Körper können auch
vollständig mit Tetraedern dargestellt ("einbeschrieben") werden.
Zusätzlich entstehen die entsprechenden Schnittmengen und Hüllkörper, so wie sie links
den Figuren zugeordnet sind.
Die Dualitäten beziehen sich lediglich auf die
Ecken und Flächen der Körper, weshalb die
zweidimensionale Projektion die wichtigen
Aussagen enthält.
Daraus folgt:
Tetraeder – Tetraeder >>> 3er-Dualität = 6
Oktaeder – Hexaeder >>> 4er-Dualität = 8
Ikosaeder – Dodekaeder >>> 5er-Dualität = 10
Die Dualkörper sowie Schnittmengen und Hüllkörper der platonischen Körper sind selbstverständlich nicht identisch mit den Simplexen. Die zweidimensionalen Projektionen
der 3 Dualitäten: Tetraeder – Tetraeder >>> 3er-Dualität = 6
Oktaeder – Hexaeder >>> 4er-Dualität = 8
Ikosaeder – Dodekaeder >>> 5er-Dualität = 10 entsprechen aber durchaus den jeweiligen
6-, 8-, und 10-Eck-Simplexen. Hier könnte man nun überlegen, ob den 3 Dualitäten noch ein einfaches Tetraeder an die erste Stelle hinzuzufügen wäre, entsprechend dem
4-, 6-, 8- und 10-Eck-Simplex.
Die Grundausage dieser Überlegung: Beiden Systematiken ist gemeinsam, dass sie mit dem 4-Eck bzw. Tetraeder beginnen und mit dem 10-Eck abschließen.
BEZIEHUNGEN ZWISCHEN STERNKÖRPERN, DURCHDRINGUNGSKÖRPERN UND DER PARKETTIERBARKEIT IM RAUM
Die Platonischen Körper sind jene Körper mit der höchsten Symmetrie. Alle Ecken, Kanten und Flächen sind identisch.
Die zweihöchste Symmetrie weisen die Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder auf.
Bei diesen Sternkörpern gibt es verschiedene Eckenformen, konvexe Ecken an den Spitzen und konkave Ecken an der Basis. Auch die Kanten weisen unterschiedliche Längen auf.
Die rechts stehende Abbildung zeigt eine Übersicht zu den Beziehungen zwischen den platonischen Körpern und ihren Sternkörpern.
Neben der Unterteilung in die entsprechenden
Dualitäten gibt es noch eine weitere wichtige
Unterscheidung. Die ersten drei platonischen Körper:
Tetraeder, Oktaeder und Hexaeder sind Teil
einer lückenlos raumfüllenden Parkettier-
barkeit mit fraktalem Charakter:
Tetraeder und Oktaeder im Verbund, sowie
das Hexaeder (Kubus) allein mit sich selbst. Das Sterntetraeder bzw. der Oktaederstern
lässt sich aus Tetraedern und Oktaedern
zusammensetzen.
Der Hüllkörper (Umriss) ist der Hexaeder (Kubus) – dual zum Oktaeder. Also ist auch dieser Sternkörper Teil einer lückenlosen Parkettierung im Raum.
Die 4 Sternkörper von Ikosaeder und
Dodekaeder resultieren aus einer
Verlängerung der Kanten der zusammen-
gesetzten Polygone. Das Ergebnis sind ineinander verschachtelte
Dreiecke, Pentagone oder Pentagramme. Pentagonale Strukturen sind weder in der
Ebene noch im Raum mit sich selbst
parkettierbar. Natürlich könnte man einwenden, dass ein Durchdringungskörper wie das Sterntetraeder kein "echter" Sternkörper ist, da seine Sternform nicht aus der Verlängerung der Kanten resultiert.
Allerdings ist das Sterntetraeder der einzige Durchdringungskörper, der die hohe Symmetrie der Kepler-Poinsod-Körper aufweist, da sich ja zwei gleiche Körper (Tetraeder) durchdringen.
Weiter oben dargestellter Durchdringungskörper, zusammengesetzt aus Oktaeder und Hexaeder ist also im Sterntetraeder schon enthalten, ohne seine hohe Symmetrie aufzuweisen.
Diese 10-teilige Darstellung enthält also erst mal nur eine rein philosophische Absicht.
Der Durchdringungskörper von Ikosaeder und Dodekaeder entspricht ebenfalls den Dualitäten der Kepler-Poinsod-Körper. Auch er weist eine drittklassige Symmetrie auf, da er sich aus zwei verschiedenen Körpern (Ikosaeder und Dodekaeder) zusammensetzt.
PHILOSOPHISCHER HINTERGRUND PLATONISCHER "KOSMOLOGIE" – "MAKROKOSMOS" UND "MIKROKOSMOS"
können (Tetraeder/Oktaeder und Hexaeder
bzw. Kubus), oder in unmittelbarer Nähe
wieder kreuzen, einen pentagonalen
Sternkörper bilden, um sodann endgültig
in der Unendlichkeit (im "All") zu "zerstieben"
(Ikosaeder, Dodekaeder).
Diese überaus wichtige Unterscheidbarkeit zwischen den platonischen Körpern beinhaltet auch die philosophische Quintessenz des Sterns des "Makrokosmos", dem Hexagramm und dem Stern des "Mikrokosmos", dem Pentagramm,als Kernthema okkulter (verborgener) platonischer "Kosmologie". Philolaos unterschied zwischen "Begrenztes" und "Unbegrenztes".
Die Beschreibung dieser Gesetzmäßigkeiten
sind Raumwinkelsummen, welche in ein
Verhältnis mit der vollen Sphäre (Kugel)
zu setzen sind.
Die entsprechende Vorlage liefern uns schon die Winkelsummen in den drei möglichen Flächen der fünf platonischen Körper.
Siehe unten stehende animierte Darstellung
von Winkelsummen im 3-, 4-, und 5-Eck.
So wie auch der rechte Winkel in der Ebene
als reguläres 4-Eck einen vollen Kreis
ergeben muss, so hat auch das Hexaeder (Kubus) als einziger platonischer Körper mit
seinen rechten Winkeln der 6 x 4-Ecke die
Raumwinkelsumme einer vollen Sphäre und
ist auch als einziger platonischer Körper im
Raum mit sich selbst lückenlos parkettierbar.
Wesentlich ist nicht das äußere Erscheinungs-
bild der platonischen Körper, sondern die
Anzahl der Ecken, die über die Winkelsummen der Flächen entscheiden.
Man stelle sich eine Kugel vor, auf dessen
Oberfläche regelmäßig eine gerade Anzahl
von Ecken (Symmetrie!) verteilt ist.
Die Anzahl der Ecken entscheidet also,
ob sich die verlängerten Tangenten (Kanten)
im unendlichen Raum zu einem unendlichen
Fraktal (philosophisch = "Gott") ausweiten
Auf einen Kugelmittelpunkt übertragen heißt
dies, dass sich 8 x-y-z-Achsen, also 8-Achtel
Kugeln zur Raumwinkelsumme einer
vollen Kugel vereinigen:
Auch die kubischen Kristallsysteme, die aus Tetraeder und Oktaeder zusammengesetzt sind
(z.B. Sterntetraeder), sind im Raum ebenfalls
lückenlos parkettierbar. Die äußeren Ecken des Sterntetraeders,
(6 Oktaeerecken und 8 Tetraederecken)
die einen Kubus bilden, ergeben in der Summe eine volle Sphäre. Hier wird diese Struktur detaillierter beschrieben: DIE GEOMETRIE DER LÜCKENLOSEN RAUMFÜLLUNG
Ikosaeder und Dodekaeder übschreiten mit ihrer 5-Zähligkeit (Pentagone, Pentagramme) diese 4er Grenze und bilden zusammen die
4 Sternkörper bzw. Kepler-Poinsot-Körper.
Da die Winkelsummen in Einheiten voller
Kreise auch bei zweidimensionalen
Polygonen und Sternpolygonen in
auffälliger Weise mit zahlentheoretischen
Entsprechungen korellieren, ist mit Recht
davon auszugehen, das dies auch für
den 3D-Raum gilt.
Hinweise, Ergänzungen und Kritik bitte an: info@tetraktys punkt de (Das Wort "punkt" bitte mit . ersetzen.)
Kepler-Poinsot-Körper, 3D-Darstellung.
Von den 5 platonischen Körpern wird gesagt, sie seien die einzigen perfekt symmetrischen Körper im dreidimensonalen Raum – abgesehen von der Kugel (Sphäre).
Diese Aussage ist nur bedingt richtig, denn zu den platonischen Körpern gehören auch die entsprechenden Sternkörper, nämlich die vier Kepler-Poinsot-Körper und das Sterntetraeder.
Dieses Video zeigt in beeindruckender Klarheit die Architektur der Kepler-Poinsot-Körper.
