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Philolaos von Kroton (um 450 v.Chr.) gilt als
der erste (und letzte "echte") Pythagoreer,
der die pythagoreischen Lehren aufzeichnete.
Philolaos war ein griechischer Philosoph, der zu den jüngeren Pythagoreern gerechnet wird und ein Zeitgenosse des Sokrates gewesen sein soll.
Schüler von Philolaos sollen Archytas von Tarent, Eurytos und Demokrit gewesen sein.
Nach Diogenes Laertius soll Platon von ihm die
Pythagoreischen Schriften gekauft haben, die er
in seinem Dialog Timaios übernommen haben soll.
In den nun folgenden originalen Textfrag-
menten finden wir wertvolle Hinweise über
das Wesen der Tetraktys, so wie sie damals
die Pythagoreer verstanden und wie sie hier
auf dieser Internetseite nun wieder neu
"rekonstruiert" wurde.
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Interessant dabei dürfte sein, dass diese
Rekonstruktion stattfand, bevor mir die
Original-Fragmente des Philolaos "in die
Hände fielen"!
Aber jeder Leser der das Wesen der Tetraktys
verstanden hat, wird erkennen, dass weder
ich noch Philolaos nie etwas "konstruiert"
haben, sondern dass es sich hier einfach nur
um die Grundlage der Zahlentheorie handelt,
die in ihren Grundzügen natürlich jedem
Mathematiker bekannt ist, deren
Zusammenhänge bis hin zur Primzahl-
verteilung aber in ihrer Bedeutung nie
richtig erkannt bzw. publiziert wurden.
Und genau das möchte ich hier zeigen:
Die Pythagoreische Tetraktys hat erst mal gar nichts mit Mystik zu tun! Die so oft propagierte Mystik resultiert aus unserer Unwissenheit! |
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Aus der tiefen Wahrheit und Klarheit der grundlegensten arithmetisch geometrischen Zusammenhänge haben dann die Pythagoreer ihre Philosophie entwickelt.
Sie waren offensichtlich nicht Glaubende sondern Wissende. Denn auch die aktuellen Tendenzen unserer modernen Forschung lassen erkennen, dass eben genau dieser Zusammenhang von Symmetrie und Primzahlproblematik etwas mit unserer physisch erfahrbaren Welt zu tun haben!
Die nun folgenden kurzen Erläuterungen bringen auch Licht in die Bedeutung des Pentagramms, dem "mystischen" Erkennungszeichen der Pythagoreer... |
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"DIE ZEHNZAHL" – AUSZUG AUS DEM VERSCHOLLENEN BÜCHLEIN "VON DEN PYTHAGOREISCHEN ZAHLEN"
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Wilhelm Capelle in "Die Vorsokratiker"
Alfred-Kröner-Verlag Leipzig 1935
I Zahlenlehre
Archytas und Philolaos nennen ohne Unterschied das Eine auch Monade und die Monade Eins. [Theon von Smyrna S. 20, 19 Hiller = 44 A 10]
Einige haben auch die »Vierheit« — bei der
ihr gewaltigster Eid ist — die nach ihrer
Meinung die vollkommenste Zahl. d. h.
die Zehnzahl, zustande bringt, als Urgrund
der Gesundheit erklärt.
Zu diesen gehört auch Philolaos.
[Lukian, Vom Ausgleiten beim Tanz 5 = 44 A 11]
Speusippos, Sohn von Platons Schwester
Potone, sein Nachfolger als Haupt der
Akademie vor Xenokrates, hat aus den
stets mit besonderem Eifer gepflogenen
pythagoreischen Erörterungen, vor allem
aus den Schriften des Philolaos, ein
hübsches Büchlein zusammengestellt,
dem er den Titel »Von den pythagoreischen Zahlen« gegeben hat.
Zuerst behandelt er hierin, vom Anfang bis zur
Mitte, eingehend die Zahlen, die sich auf Linien
beziehen, und solche, die sich auf Vielecke und
allerlei Flächengebilde beziehen, und zugleich
solche, die zu festen Körpern in Beziehung stehen;
Dann spricht er von den fünf Figuren, die den
Elementen des Kosmos zugeschrieben werden,
sowie über ihre Eigentümlichkeit und ihre
gemeinsamen Beziehungen, analoge und nicht
analoge Verhältnisse <zwischen ihnen>.
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Danach widmet er die zweite Hälfte seines
Buches der Zehnzahl, indem er sie als die
natürlichste und vollkommenste von allen
Dingen erweist, die gleichsam kunst-
gemäßes Urbild für die kosmischen
Schöpfungen aus sich selber (und nicht <nur>
auf Grund unserer Meinungen oder Einfälle)
ist und als vollkommenstes Vorbild dem
das Weltganze gestaltenden Gott vor Augen steht.
Er spricht folgendermaßen über sie:
»Es ist aber die Zehn die vollkommene Zahl,
und mit Recht und ganz natürlicherweise
begegnen wir <Menschen> uns in dieser,
Griechen und alle Völker, die auf alle
mögliche Art zählen, indem wir selber
dabei nichts mit Absicht tun.
Denn sie hat viele Eigentümlichkeiten, wie
das bei einer so vollkommenen Zahl in der
Ordnung ist; viele Eigenschaften aber sind ihr
nicht spezifisch eigentümlich; sie muß aber
<auch> diese als vollkommene Zahl besitzen.
Erstens nun muss sie eine gerade Zahl sein,
damit in ihr in gleicher Weise die ungeraden
und die geraden Zahlen enthalten sind und
nicht solche, die Produkte aus ungleichen
Faktoren sind.
Denn da stets die ungerade Zahl früher als die
gerade ist, wird, wenn nicht die schließende
Zahl gerade wäre, die andere mehr haben.
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Sodann muss sie die ersten und unzusammen-
gesetzte und die zweiten und zusammen-
gesetzten in gleicher Weise enthalten.
Das aber ist bei der Zehnzahl der Fall,
dagegen bei keiner andern Zahl, die kleiner
ist als zehn, wohl aber bei größeren,
aber Grundzahl von ihnen ist die Zehnzahl.
Und sie hat als erste, die diese Eigenschaft hat,
und als die kleinste von denen, die diese Eigenschaft haben, eine gewisse Vollendung,
und das ist ihr gewissermaßen eigentümlich,
dass in ihr als erster unzusammengesetzte und zusammengesetzte Zahlen in gleicher Anzahl zur Erscheinung kommen.«
[Jamblich, Theologische Zahlenlehre S. 82,
10 de Falco = 44 A 13]
Da die Texte vom Alfred-Kröner-Verlag meines Wissens nicht gemeinfrei sind, und weil dieser hier rot markierte Text die vorerst wichtigste Information über die 10-Zahl enthält, belasse ich es bei diesem Auszug und empfehle die aktuelle Ausgabe:
"Die Vorsokratiker" von Wilhelm Capelle
Alfred-Kröner-Verlag Stuttgart 2008
9. Auflage
ISBN 978-3-520-11909-4
Wo dieses "Büchlein" von Speusippos geblieben
ist oder ob es überhaupt noch existiert, darüber
herrscht leider Unklarheit!
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1 + 2 + 3 + 4 = 10 ! – DIE GEOMETRIE ANALOG ZUM ERKLÄRUNGSVERSUCH DES PHILOLAOS
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Es gab in der Vergangenheit einige Autoren, die offensichtlich ehrlich und aufrichtig versucht haben, die Glorifizierungen der 10-Zahl in Speusippos
»Von den pythagoreischen Zahlen« mental
nachzuvollziehen, und die dann schließlich
entnervt aufgaben, um diese Gedankengänge
als sonderbaren Irrglauben abzutun.
Und all diejenigen die diese Autoren gelesen haben, werden sich ihnen angeschlossen haben – was sehr bedauerlich ist.
Aber was meinte Philolaos u.a. mit:
»...Sodann muss sie die ersten und unzusammengesetzte und die zweiten
und zusammengesetzten in gleicher Weise enthalten.«
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Diese arithmetischen Erklärungsversuche
werden erst verständlich, wenn wir die
entsprechende Geometrie zu Hilfe nehmen.
Um also Philolaos zu verstehen, schaue man
sich unten stehende Abbildung genau an.
Zu sehen ist die geometrische Darstellung
der Teilbarkeit der Zahl 10.
"die ersten und unzusammengesetzte"
entspricht den ungeraden Teilern der 10:
1 = Polygon
3 = Sternpolygon
"die zweiten und zusammengesetzten"
entspricht den geraden Teilern der 10:
2 = Polygon mehrfach
4 = Sternpolygon mehrfach
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Und man muss es auch nicht als Zufall werten,
wenn in dieser Geometrie das Pentagramm
eine wichtige Rolle spielt, indem sich zwei
Pentagramme zu einem 10-Stern fügen:
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Das Pentagramm war das Erkennungszeichen der Pythagoreer, es stand außerdem für "Gesundheit" – wie eben auch die Tetraktys selbst.
Was bedeutet nun diese 4. ( ! ) Konstellation dieses aus zwei Pentagrammen zusammen-
gesetzten 10-Sterns im 10-Eck erst mal ganz nüchtern betrachtet? Sehen Sie selbst: |
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Polygon
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Polygon mehrfach
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Sternpolygon
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Sternpolygon mehrfach
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10 geteilt durch 1
= 1 x 10
Alle natürlichen Zahlen ohne Teiler.
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10 geteilt durch 2
= 2 x 5
Natürliche Zahl, ist mit dem betreffenden Teiler teilbar.
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10 geteilt durch 3
= 3 x 3,333...
Natürliche Zahl, ist mit dem betreffenden Teiler teilerfremd,
bzw. relativ prim.
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10 geteilt durch 4
= 4 x 2,5
Natürliche Zahl, ist mit dem betreffenden Teiler nicht teilbar, hat aber mit ihm mindestens einen gemeinsamen Teiler größer als eins.
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10 geteilt durch 5
= 5 x 2, entspricht
also der zweiten Konstellation = 2 x 5
Linien durch den Mittelpunkt bilden mit dem Quotienten 2 jene Schranke, unterhalb derer keine Primfaktoren mehr gebildet werden können.
Das Verhältnis zwischen der Quotientenmenge ober- und unterhalb dieser Schranke in der Divisionstabelle ist genau 1 zu 4. |
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Der vollständige Simplex des
10-Ecks beinhaltet also alle vier Konstellationen!
Mehr noch:
Das 10-Eck-Simplex ist das > erste < Simplex, das alle vier Konstellationen in sich vereinigt!
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1 |
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+ 2 |
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+ 3 |
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+ 4 |
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= 10 ! |
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Bitte bedenken Sie:
Diese drei Konstellationen sind die einzig möglichen,
mit denen natürliche Zahlen zueinander in einem
Teilbarkeitsverhältnis stehen!
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Näheres zu den arithmetisch geometrischen Zusammenhängen unter: DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS
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DIE FRAGMENTESAMMLUNG VON PHILOLAOS – ÜBERSETZUNG NACH HERMANN DIELS
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Die nun folgende Fragmentesammlung von
Philolaos wurde von Hermann Diels innerhalb
seines Gesamtwerkes "Die Fragmente der
Vorsokratiker" ins Deutsche übersetzt.
Hermann Diels (1848-1922) ist der bedeutenste
deutsche Übersetzer dieser griechischen Original-
fragmente, die von Walther Kranz nachträglich
bearbeitet wurden. An diesen gemeinfreien Texten orientiert sich die moderne Forschung noch heute.
Textpassagen mit geometrischer und
arithmetischer Aussage sind rot markiert!
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Begrenzendes und Unbegrenztes
1. Die Natur aber ward in der Weltordnung aus grenzenlosen und grenzebildenden Stücken zusammengefügt, sowohl die Weltordnung als Ganzes wie alle in ihr vorhandenen Dinge.
2. Notwendig müssen die vorhandenen Dinge alle entweder grenzebildend oder grenzenlos oder beides zugleich sein. Dagegen nur grenzenlos [oder nur grenzebildend] können sie wohl nicht sein.
Da sie also offenbar weder aus lauter Grenzebildendem bestehen noch aus lauter Grenzenlosem, so ist doch klar, daß die Weltordnung und, was in ihr ist, aus
grenzebildenden und grenzenlosen Stücken zusammengefügt wurde.
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Das beweist auch die Beobachtung in der Wirklichkeit. Denn diejenigen von den wirklichen Dingen, welche aus grenzebildenden Stücken bestehen, sind auch grenzebildend, aber die aus grenzebildenden und grenzenlosen sind sowohl grenzebildend wie grenzenlos, dagegen die aus grenzenlosen werden auch grenzenlos erscheinen.
3. Von vornherein wird es nicht einmal ein Objekt der Erkenntnis geben können, wenn alles grenzenlos wäre.
4. Und in der Tat hat ja alles was man erkennen kann Zahl. Denn es ist nicht möglich, irgend etwas mit dem Gedanken zu erfassen oder zu erkennen ohne diese.
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Gerades und Ungerades und ihre Mischung
5. Die Zahl fürwahr hat zwei besondere Formen, Ungrades und Grades, und eine dritte aus beider Mischung entstandene, Grad-Ungrades.
Jede der beiden Formen aber hat viele Gestalten, die jedes Ding selbst von sich aus anzeigt.
Hier dazu die zahlentheoretischen Fakten
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Über die Harmonie
6. Mit Natur und Harmonie verhält es sich so:
Das Wesen der Dinge, das ewig ist, und die Natur gar selbst erfordert göttliche und nicht menschliche Erkenntnis, wobei es freilich ganz unmöglich wäre, dass irgend etwas von den vorhandenen Dingen von uns auch nur erkannt würde, wenn nicht das Wesen der Dinge zugrunde läge, aus denen die Weltordnung zusammentrat, sowohl der grenzebildenden wie der grenzenlosen.
Da aber diese Prinzipien als ungleiche und unverwandte zugrunde lagen, so wäre es offenbar unmöglich gewesen, mit ihnen eine Weltordnung zu begründen, wenn nicht Harmonie dazu gekommen wäre, auf welche Weise diese auch immer zustande kam.
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Das Gleiche und Verwandte bedurfte ja durchaus nicht der Harmonie, dagegen muss das Ungleiche und Unverwandte und ungleich Geordnete notwendigerweise durch eine solche Harmonie zusammengeschlossen sein, durch die sie imstande sind, in einer Weltordnung niedergehalten zu werden. -
Der Harmonie ( Oktave 1 : 2 )
Größe umfasst die Quarte ( 3 : 4 )
und Quinte ( 2 : 3 ) .
Die Quinte ist aber um einen Ganzton ( 8 : 9 )
größer als die Quarte.
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Denn von der Hypate (E) bis zur Mese (A)
ist eine Quarte, von der Mese zur Nete (E)
eine Quinte, von der Nete zur Trite (H),
später Paramese) eine Quarte,
von der Trite (H) zur Hypate ( E) eine Quinte.
Zwischen Trite (H) und Mese (A)
liegt ein Ganzton.
Die Quarte aber hat das Verhältnis 3 : 4,
die Quinte 2 : 3,
die Oktave 1 : 2.
So besteht die Oktave aus fünf Ganztönen
und zwei Halbtönen,
die Quinte aus drei Ganztönen
und einem Halbton, die Quarte
aus zwei Ganztönen und einem Halbton.
Kosmologie
7. Das zuerst zusammengefügte, das Eins, in der Mitte der Kugel heißt Herd (oder Hestia).
8. Eins (Einheit) ist aller Dinge Anfang (Urgrund)
9. Von Natur, nicht durch Satzung
(= von Menschen Gemachtes).
10. Harmonie ist des viel Gemischten Einigung und des verschieden Gesinnten Sinnesverbindung.
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Die Kraft der Zehnzahl
11. Man muss die Werke und das Wesen der
Zahl nach der Kraft beurteilen, die in der
Zehnzahl liegt.
Denn sie ist groß, allvollendend, allwirkend
und göttlichen und himmlischen sowie
menschlichen Lebens Anfang und Führerin.
Sie nimmt teil * * * Kraft auch der Zehnzahl.
Ohne diese aber ist alles grenzenlos und
undeutlich und unklar.
Denn erkenntnisspendend ist die Natur der Zahl und führend und lehrend für jeglichen in jeglichem, das ihm zweifelhaft oder unbekannt ist.
Denn nichts von den Dingen wäre irgendwem klar, weder in ihrem Verhältnis zu sich noch zu einander, wenn die Zahl nicht wäre und ihr Wesen.
Nun aber bringt diese innerhalb der Seele alle
Dinge mit der Wahrnehmung in Einklang und
macht sie dadurch erkennbar und einander
entsprechend nach des [Zeigers] Natur, indem
sie ihnen Leiblichkeit verleiht und die
Verhältnisse der Dinge jegliches für sich
scheidet, der grenzenlosen ebenso wie der
grenzebildenden.
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Du kannst aber nicht nur in den dämonischen und göttlichen Dingen die Natur der Zahl und ihre Kraft wirksam sehen, sondern auch überall in allen menschlichen Werken und Worten und auf dem Gebiet aller technischer Verrichtungen und auf dem der Musik.
Die Zahl lügt und täuscht nicht
Lug (Täuschung) aber nimmt gar nicht die Natur
der Zahl und die Harmonie in sich auf. Denn er
ist ihnen nicht eigen. Der Natur des Unsinnigen und Unvernünftigen ist der Lug (die Täuschung) und der Neid eigen.
Lug (Täuschung) aber bläst auf keine Weise in
die Zahl hinein. Denn als etwas Feindliches und
Unversöhnliches steht der Lug ihrer Natur
gegenüber, die Wahrheit aber ist etwas dem
Geschlechte der Zahl Eigenes und Angeborenes.
12. Und zwar sind die Körper (Elemente) der Weltkugel fünf: die in der Kugel: Feuer, Wasser, Erde und Luft, und was der Kugel Lastschiff (?)
ist, das fünfte.
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Der Körper ist das Gefängnis der Seele
14. Es bezeugen aber auch die alten Gotteskünder und Seher, dass infolge bestimmter (?) Strafanordnungen die Seele mit dem Körper zusammengejocht und wie in einem Grabe in ihm bestattet ist.
15. Gott hält alles wie in einem Gefängnis umschlossen und die Menschen sind nur ein Stück des Götterbesitzes.
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16 . Daher haben wir gewisse Vorstellungen und Leidenschaften nicht in unserer Gewalt wie auch gewisse Handlungen, die auf solchen Vorstellungen und Überlegungen beruhen. Es gibt vielmehr, wie Pythagoras. sagte, gewisse Gedanken, die stärker sind als wir...
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13. Vier Prinzipien gibt es bei dem vernunft-
begabten Geschöpfe: Gehirn, Herz, Nabel und Schamglied. Kopf (Gehirn) ist das Prinzip des Verstandes, Herz das der Seele und Empfindung, Nabel das des Anwurzelns und Emporwachsens des Embryo, Schamglied das der Samenentleerung und Zeugung.
Das Gehirn aber [bezeichnet] das Prinzip des Menschen, das Herz das des Tieres, der Nabel das der Pflanze, das Schamglied das aller zusammen, denn alles blüht und wächst aus Samen heraus.
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INTERPRETATION ZU "BEGRENZENDES UND UNBEGRENZTES" – ANALOGIE ZU MENSCH UND GOTT, RAUM UND ZEIT
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Interpretation zu:
"Begrenzendes und Unbegrenztes"
Die Platonischen Parkettierungen zeigen, dass nur mit wenigen regelmäßigen Polygonen (n-Ecken) Ebene und Raum lückenlos gefüllt werden kann.
Nur rot markierte Polygone sind parkettierbar: |
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Die Entsprechung in der Zahlentheorie:
Die ersten Ziffern, bzw. Primzahlen 1 x 2 x 3 legen das 6er Primzahlzwillingsraster bis unendlich fest. Sie ordnen den unbegrenzten Zahlenraum!
Die entsprechende geometrische Figur ist
das Hexagramm.
Die ersten Ziffern, bzw. Primzahlen 1, 2 und 3,
also Ecke, Kante und Fläche, ergeben in der Summe auch den Raum für materielle Körper = 4.
Der einfachste Körper ist das Tetraeder – hier als Fraktal dargestellt: |
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Die nächste Primzahl nach der Ziffer 3 ist die 5.
Diese ist die erste Primzahl, die sich der ersten
Ursache des Raumes, resulierend aus der
"Trinität Gottes" unterordnen muss, die aber
gleichzeitig diese strenge Ordnung – je nach
Betrachtungsweise – entweder wieder auflöst
und/oder mit "Leben" und "Dynnamik" erfüllt.
Die entsprechende geometrische Figur ist
das Pentagramm.
Zwar ein "Grenzüberschreiter", denn es überschreitet den rechten Winkel, "begrenzt"
sich damit aber selbst, da es sich dem Raum unterordnen muss. Pentagone sind die ersten nicht parkettierbaren Polygone.
Das Hexagamm bzw. der 6-Stern steht als Abstract für die ewige Allianz von Energie
im unbegrenzten Raum = "Makrokosmos".
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Feuer & Wasser bzw. Energie & Raum
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Das Pentagramm bzw. der 5-Stern steht als
Abstract für das dynamisch flüchtige Werden und Vergehen, die Allianz von Zeit und Materie und damit auch das begrenzende Prinzip des Lebens = "Mikrokosmos"!
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Und nur ein mit Dreiecken und Quadraten parkettierter Raum hat die Eigenschaft, dass von jedem beliebigen Eckpunkt aus alle Geraden in den unbegrenzten, unendlichen Raum führen.
1 = Eckpunkt
2 = gerade Linie,
3 = Dreieck,
4 = Quadrat
entspricht wieder: 1 + 2 + 3 + 4
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Dieses so genannte kubisch flächenzentrierte Gitter besteht nur aus Dreieck- und Quadratflächen, und ist ein sehr interessantes Fraktal mit hexagonaler Struktur (gestürzte und aufrechte Dreiecke!).
Jede Ecke bzw. "Knotenpunkt" ist mit allen
anderen Ecken innerhalb dieser unendlichen unbegrenzten Raumstruktur direkt verbunden.
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Luft & Erde bzw. Zeit & Materie
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Die Abbildung rechts zeigt eindrucksvoll,
dass sich mit dem Thema "Begrenztes und
Unbegrenztes" im Zusammenhang mit dem
Fünfeck und dem Pentagramm auch Künstler
und Wissenschaftler wie Abrecht Dürer und
Johannes Kepler beschäftigten.
Wie man an den Zeichnungen schön erkennen kann,
sind sehr wohl Symmetrien um einen Mittelpunkt
möglich, nicht aber eine unbegrenzt parkettierbare
lückenlose Fläche.
Auch im Raum sind pentagonale Symmetrien nur um
einen Mittelpunkt möglich, wie man an Dodekaeder,
Ikosaeder und ihren Sternkörpern sehen kann.
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In diesen Eigenschaften liegt auch die
hermetische Zuordnung des Pentagramms
zum "Mikrokosmos" begründet.
Auf diesen geometrischen Gesetzmäßigkeiten lassen sich dann auch die entsprechenden Analogien zum menschlichen Leben ableiten:
Die menschlich Natur und der menschliche Geist
ist egozentrisch angelegt. Der Mensch möchte
sich selbst verwirklichen und benutzt seine
Umwelt, um persönliche Ziele zu erreichen.
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Der "göttliche Funke" der menschliche Seele
hingegen fühlt sich mit anderen Individuen zu
einer Einheit verbunden. Das symbolisiert der unbegrenzt parkettierbare Raum mit kubischen
und hexagonalen Strukturen.
Diese Anschauung korrespondiert auch mit den verschiedenen Religionsphilosophien. Der
menschliche Geist ist vergänglich und begrenzt.
Die menschliche Seele hingegen ist bei Gott,
so sie sich mit dem Makrokosmos verbindet.
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Auch die christlichen Gründungsväter der Freimaurerei übernahmen diese auf dem Platonismus beruhenden Symbole:
Den kubischen Stein als Symbol menschlicher Vollkommenheit und Harmonie einer humanitären Gesellschaftsordnung.
Auch Winkelmaß (Square) und Zirkel (Kompass) sind Symbol für Quadrat und Dreieck.
Quadrat, Dreieck und Sechseck (aus Dreiecken zusammengesetzt) bilden die einzigen platonischen Parkettierungen, siehe weiter oben. |
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