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Was wissen wir über die natürlichen Zahlen von 1 bis unendlich? Es gibt gerade und ungerade Zahlen. Und es gibt Primzahlen.
Aber ist das tatsächlich schon alles?
Primzahlen und ihre Verteilung innerhalb der Zahlengerade bereiten Mathematikern in mehrfacher Hinsicht Kopfzerbrechen.
Hier ein Auszug aus dem Buch "GAMMA"
von Julian Havil, ISBN-10: 9783540484950
Erscheinungsdatum 2007
Eulers Konstante, Primzahlabstände und Riemannsche Vermutung
"....Die Mathematiker haben sich bis jetzt vergeblich bemüht, irgendeine Ordnung in der Folge der Primzahlen zu entdecken, und man ist geneigt zu glauben, dies sei ein Geheimnis, das der menschliche Geist niemals durchdringen wird. Leonhard Euler”.....
und: ... „Primzahlen sind bereits mehrmals in diesem Buch aufgetreten. Ihre Untersuchung steht seit langem im Mittelpunkt der Zahlentheorie und das Verhalten der Primzahlen, das mitunter so undiszipliniert zu sein scheint, sieht bisweilen so aus, als würde es von einer unbekannten und übermächtigen Autorität determiniert werden, die nicht willens ist, den zugrunde liegenden Plan zu offenbaren.
Das Zitat zu Beginn des Kapitels zeigt, wie frustriert der große Euler war. Erdös paraphrasierte Einstein, als er sagte ”Gott würfelt vielleicht nicht mit dem Universum, aber mit dem Primzahlen hat es schon etwas Seltsames auf sich“.
Und R. C. Vaughan sprach für viele, als er sagte, „Es ist offensichtlich, dass Primzahlen zufällig verteilt sind, leider wissen wir nicht, was Zufall bedeutet“.
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Das sind nur drei der vielen Aussprüche, die im Laufe der Jahrhunderte geprägt wurden und das Erstaunen darüber zum Ausdruck bringen, wie sich die Primzahlen verhalten....”
Zitat Ende
Nun ist es aber gerade in den letzten Jahren mit Hilfe der Computeranalyse einigen Mathematikern gelungen, in der Primzahlverteilung eine Ordnung in Form von regelmäßigen Intervallen nachzuweisen, nämlich dann, wenn mit genügend großen Zahlenmengen operiert wird.
Zum Erkennen dieser regelmäßigen Intervalle gibt es verschiedene Lösungswege mit Hilfe des Siebs des Eratosthenes.
Mit den nun folgenden Überlegungen möchte ich aber einen komplett anderen Denkansatz zum Thema Primzahlen vorschlagen, der ebenfalls mit dem SDE verknüpft ist.
Primzahlen sind unregelmäßig verteilt, aber es gibt eine streng geordnete Struktur dazwischen! Denn wie kann man eine Ordnung innerhalb eines Systems erkennen, wenn man einen großen Teil davon ignoriert?
Das System beinhaltet alle natürlichen Zahlen.
Und es ist eine Ordnung, die sich selbst ständig neu beweist, und die zusätzlich noch von einer Geometrie bestätigt wird, welche man als einen anderen Aggregatzustand der natürlichen Zahlen bezeichnen könnte – die Geometrie der
n-Simplex!
Wer dieses System bis in die Tiefe verstanden hat, für den besteht kein Zweifel mehr: Es ist genau das determinierende System, über welches Julian Havil in seinem Buch mutmaßte!
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Um das determinierende System hinter der scheinbaren Unregelmäßigkeit der Primzahlen zu erkennen, ist es erst einmal wichtig, sich mit der oben stehenden Grafik vertraut zu machen. Es handelt sich dabei um den 6er-Takt 6n ± 1 nach Gottfried Wilhelm Leibnitz.
Es sind drei Zahlengruppen farbig markiert, die ein symmetrisches Muster ergeben.
Geht es hier nur um selektive Wahrnehmung einer Zahlenspielerei, oder tatsächlich um eine tiefere Wahrheit?
Dieser Frage wollen wir gleich zu Anfang auf den Grund gehen. Der Leser wird außerdem erkennen, dass die natürlichen Zahlen von eins bis unendlich durchaus nichts Langweiliges sind, sondern ganz im Gegenteil etwas sehr Lebendiges.
Und je mehr er die wechselwirkenden Zusammenhänge begreift, um so mehr wird er erkennen, dass es hier um eine hochkomplexe Ordnung geht, die ein Menschenhirn nicht erfunden hat, sondern dass es diese Ordnung immer schon gegeben hat.
Und eines ist ganz sicher:
Sie war Inspirationsquelle der alten Denker, wie beispielsweise der Pythaogreer Philolaos!
Hier nachzulesen.
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Bevor wir aber dieser Ordnung auf dem Grund gehen. ist es erst einmal wichtig, die allgemein gültige Definition über Primzahlen und ihr holperiges Detail, nämlich die Zahl 1 als Nichtprimzahl in Erinnerung zu rufen:
Wikipedia Stand 14.06.2011:
"…..Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als eins und nur durch sich selbst und durch eins teilbar ist. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler.
Die kleinsten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 …
Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie zusammengesetzt.Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt...."
Warum ist die Zahl 1 per Definition keine Primzahl?
Dazu Wikipedia weiter:
"...Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als eins und nur durch sich selbst und durch eins teilbar ist. Damit ist die Zahl 1 zunächst einmal per Definition keine Primzahl.
Die entscheidende Frage ist nun, warum man die Definition so wählt wie oben. Prinzipiell könnte man auch eine Primzahldefinition wählen,
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die die Zahl 1 mit einschließt - dies wurde historisch auch teilweise so gehandhabt.
Primzahlen haben jedoch nicht nur die spezielle Teilbarkeits-Eigenschaft, sondern sie "erzeugen" gewissermaßen auch alle anderen natürlichen Zahlen:
Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, lässt sich eindeutig in eine Anzahl von Primfaktoren zerlegen, entsteht also aus dem Produkt von Primzahlen.
Die 1 jedoch ist das neutrale Element der Multiplikation und kann demzufolge multiplikativ keine weiteren Zahlen "erzeugen".
Nimmt man die 1 in die Definition der Primzahlen mit auf, verliert sich weiterhin die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, weil man zu jeder Zerlegung beliebig viele Einsen hinzufügen kann, ohne den Wert der Zahl zu ändern….."
Wikipedia Ende.
Daraus sollte folgender Satz kritischer betrachtet werden, weil er dem Leser eine Sichtweise aufdrängt, die ihm den Zugang zum Begreifen wichtiger Zusammenhänge versperrt:
"….Primzahlen haben jedoch nicht nur die spezielle Teilbarkeits-Eigenschaft, sondern sie "erzeugen" gewissermaßen auch alle anderen natürlichen Zahlen…."
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Diese Aussage muss, so logisch sie für den Mathematiker erst einmal klingen mag, in Frage gestellt werden!
Der Grund dafür sind die nun folgenden Überlegungen. Denn gleich bei den ersten drei Zahlen des Zahlenstrahls von 1 bis unendlich stoßen wir auf bemerkenswerte Besonderheiten:
Die Zahl 1:
Sie verkörpert das signifikanteste Merkmal einer Primzahl, sie ist nicht teilbar. Aber genau genommen ist die Zahl 1 auch nicht durch sich selbst teilbar, sie ist sozusagen in aller konsequentester Weise nicht teilbar!
Die Zahl 2:
Die 2 ist die einzige gerade Primzahl!
Alle anderen, abzählbar unendlich vielen Primzahlen sind ungerade!
Die Zahl 3:
Der Ziffer 3 kommt eine ganz besondere Schlüsselrolle in der Primzahlverteilung zu,
die im Folgenden erläutert wird.
Schauen wir uns nun
folgenden Tatbestand an:
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Alle Primzahlen von 1 bis abzählbar unendlich befinden sich innerhalb eines immer gleichen Taktes, mit Ausnahme der Zahl 2 und 3!
Dieser "6er-Takt" der Form 6n±1 begründet die so genannte Zwillingsbildung der Primzahlen!
Um es zu verdeutlichen:
Wenn irgendwo im Zahlenstrahl bis unendlich eine Primzahl auftritt, dann nur innerhalb dieses Taktes auf einem der potentiellen Primzahlzwillingsplätze – auch wenn ab der Zahl 25 ( 25 / 5 ) immer mehr potentielle Zwillingsplätze keine Primzahl mehr aufweisen.
Wer diese Tatsache und deren Bedeutung nicht verinnerlicht hat, wird nachfolgende Betrachtungen nicht verstehen!
Schauen wir nun weiter: Was sind das nun für Zahlen, die zwar auf diesen Zwillingsplätzen liegen, aber keine Primzahlen mehr sind?
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Diese speziellen Zahlen und ihr determinierendes System, "als zweiten Part der Tetraktys", werden wir im Anschuss untersuchen! Diese Zahlen werden auch "Pseudoprimzahlen" genannt. Diese sind ausschließlich nur durch Primzahlen ab der Zahl 5 teilbar.
Niemals durch die Zahlen 2 und 3 und ihre Vielfachen. Was für ein seltsamer Zufall die Sache mit der Zahl 2 und 3 ...
Welchen Charakter haben aber diejenigen Zahlen, welche zwischen den potentiellen Primzahlzwillingsplätzen liegen?
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Das Raster der Zahl 1 = Primzahlen und "Pseudoprimzahlen" sind also immer in Zwillingen angeordnet. Es sind immer ungerade Zahlen.
Das Raster der Zahl 2 = Zweiteilbare Zahlen, sind ebenfalls immer in Zwillingen angeordnet. Es sind selbstverständlich gerade Zahlen.
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Das Raster der Zahl 3 = Alle dreiteilbaren Zahlen, weisen ein Raster mit gleichmäßigen Abständen auf! Dreiteilbare Zahlen bilden keine Zwillinge.
Und sie sind sowohl gerade als auch ungerade!
Fassen wir zusammen:
Die potenziellen Primzahlplätze sind einer spiegelsymmetrischen Ordnung untergliedert, in der die dreiteilbaren Zahlen in immer gleichen Abständen verteilt sind, und die Symmetrieachsen für zweierlei Zwillingskostellationen stellen: Die Primzahlen bzw. "Pseudoprimzahlen" als Zwillinge und die zweiteilbaren, nicht dreiteilbaren Zahlen ebenfalls als Zwillinge.
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Diese Spiegelsymmetrie lässt sich gut veranschaulichen, indem man den 6er-Takt der Form 6n±1 in der entsprechenden Steigung als Zahlenspirale darstellt.
Dass in dieser Ordnung bis hierher nun zwei der vier Grundfiguren der Tetraktys enthalten sind, ist kein Zufall.
1. Das Dreieck als Startfigur analog zu den
drei hier beschriebenen Zahlengruppen:
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Und 2. das doppelte Dreieck = Hexagramm,
die spiegelsymmetrische Ordnung, die sich
aus diesen drei Zahlengruppen ergibt, also
des 6er-Taktes als Sechsstern.
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Die anderen beiden Startfiguren, der
Tetraktys, das Pentagramm und das
doppelte Pentagramm, welches die
Ziffer 10 ergibt, haben direkt etwas mit
der scheinbaren Unregelmäßigkeit der
Primzahlzwillingsplätze nach der hoch
zusammengesetzten Zahl 24 zu tun.
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Der Sechsstern zeigt mit seinen zwei ineinander verschränkten Dreiecken das Zusammenspiel gerader und ungerader Zahlen innerhalb der Symmetrie des Sechsertaktes nach Leibnitz.
Lassen sie bitte für eine Weile dieses Bild auf sich wirken, um es in bis in die Tiefe zu verstehen. Achtung: Die 6er Steigung dient nur der Veranschaulichung, eine beliebige andere Steigung ändert nichts an der Tatsache! Diese Zahlenspriale wurde zuerst publiziert durch Axel Klitzke.
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Die Zahl 1 – ist die erste Zahl im Raster der potenziellen Primzahlzwillingsplätze, die weder zwei noch dreiteilbar sind.
Diese Zahlengruppe ist immer in Zwillingen angeordnet.
Es sind immer ungerade Zahlen.
Die Zahl 2 – ist die erste Zahl im Raster zweiteilbarer, nicht dreiteilbarer Zahlen.
Diese Zahlengruppe ist immer in Zwillingen angeordnet!
Es sind immer gerade Zahlen.
Die Zahl 3 – ist die erste Zahl im Raster der dreiteilbaren Zahlen!
Diese Zahlengruppe ist > nicht < in Zwillingen angeordnet, sondern sie stellt die Symmetrieachsen der Zahlenzwillinge.
Es sind zu einer Hälfte ungerade und zur anderen Hälfte gerade Zahlen.
Die Zahlen 1, 2 und 3 sind wahrlich ganz besondere Primzahlen.
Man muss es noch drastischer ausdrücken:
Die ersten drei natürlichen Zahlen sind die einzigen Primzahlen, die dem ursprünglichen Sinn des Wortes "Prim",
"Die Ersten", wirklich gerecht werden.
Allerdings in einer Art und Weise, welche
von den Berufsmathematikern nicht diskutiert
wird. Der andere Punkt ist, dass alle anderen Primzahlen bis unendlich auf den potenziellen Primzahlzwillingsplätzen liegen, was bei der Primzahl 2 und 3 nicht der Fall ist,
wohl aber bei der 1.
Ich habe ein Problem damit, dass die Formulierung der Definition der Primzahlen diesen Tatbestand verwässert.
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Für die angewandte Mathematik ist diese gängige Primzahldefinition absolut Ok, da sie sich bewährt hat.
Für die zahlentheoretische Forschung hingegen müssten diese zwei Arten von Primzahlen unbedingt Erwähnung finden, wenn man daran interessiert ist, dass Wesen der Primzahlverteilung zu erkennen.
Wer diese Sachverhalte mental noch nicht nachvollziehen kann, schaue sich vielleicht einmal die geometrische Entsprechung der Ziffern 2 und 3 an und vergleiche sie mit jenen aller "restlichen" Primzahlen bis unendlich. Alle primzahligen Simplexe ab der Ziffer 5 beinhalten Sternpolygone! Bei der Ziffer 2 (Linie) und der Ziffer 3 (Polygon) ist das selbstverständlich nicht der Fall.
Zur besseren Visualisierung mag dieser Link dienen.
Möglicherweise werden die hier beschriebenen Zusammenhänge von berufsblinden Mathesen als Prosa bezeichnet werden, die den Axiomen der Mathematik nicht genügt.
Einverstanden!
Aber diese Prosa ist wahr ;–)
Nur zu gern zitiere ich in diesem Zusammenhang den Pythagoreer Philolaos, aus den Fragmenten nach Herrmann Diels:
"Die Zahl fürwahr hat zwei besondere Formen, Ungrades und Grades, und eine dritte aus beider Mischung entstandene, Grad-Ungrades...."
Die Quelle dieses Zitats mag verstaubt klingen,
die Aussage selbst aber ist aktuell bis in alle Ewigkeit.
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Diese Zusammenhänge werden in der
nächsten Rubrik
TETRAKTYS PART 2 – DIE "UNORDNUNG"
DER PRIMZAHLEN
erläutert.
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Und auch in diesem zweiten Part der
Tetraktys bilden die dreiteilbaren Zahlen die Symmetrieachsen, in diesem Fall sind es alle ungeraden dreiteilbaren Zahlen.
Die Tetraktys ist das determinierende System innerhalb der natürlichen Zahlen, welches
sich immer wieder selbst neu bestätigt, denn
es ist ein fraktales System.
Lesen Sie dazu:
DER SCHLÜSSEL ZUR TETRAKTYS
Zusammenhänge zwischen der Tetraktys und dem Sieb des Eratosthenes auch unter:
DAS SIEB DES ERATOSTHENES UND DIE TETRAKTYS
Zusammenfassung zur Bedeutung
der ersten drei Zahlen:
Um das determinierende System innerhalb
der Primzahlverteilung, bzw. aller natürlichen Zahlen zu verstehen, muss man die Spiegelsymmetrien in der Zahlengerade
bis unendlich (an-)erkennen, die aus der
Dreiteilung der Zahlen resultiert.
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Falsifizierung der überragenen Bedeutung
des 6er Taktes der Form 6n+1, 6n-1
Schauen wir uns alle anderen möglichen Primzahltakte vor und nach dem 6er Takt an:
Das 6er Takt erklärt sich aus der Multiplikation der Primzahlen 2 und 3,
also 2 x 3 = 6er Takt.
Das bedeutet also, dass wir vor dem 6er Takt
mit der Ziffer 2 nur noch ein 2er Takt mit allen
ungeraden Zahlen vorfinden. Dieses ist sozusagen der "Ur-Takt", wenn man von der (Primzahl) 1 absieht, welche sozusagen alle natürlichen
Zahlen präsentiert.
Schauen wir uns also nun die andere Richtung
jenseits des 6er Taktes an. Das bedeutet,
dass zum 6er Takt die nächstliegende Primzahl nach der 3, also die 5 multipliziert wird:
also 2 x 3 x 5 = ein 30er Takt!
Dieser 30er Takt zeigt alle Primzahlplätze
an, die nach der Eratosthenes-Streichung
mit 2, 3 und 5 übrig geblieben sind.
Und auch bei diesem Takt kann man sagen: wenn irgendwo eine Primzahl in der Zahlengerade bis unendlich auftritt, dann
innerhalb dieses Taktes.
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Da dieser 30er Takt ebenfalls noch eine überschaubare Zahlenmenge präsentiert, wurde über dieses auch schon mehrmals nachgedacht. Hierzu zwei Links, unter anderem auch vom Künstler und Kommunikationsanalytiker
Felix Stoffel.
Er hat ebenfalls vor einem Jahr im Internet seine
"Vier Primzahlen-Temperamente"
vorgestellt.
Eine weitere interessante Seite dazu: http://primini.de/spirale-x30.html
Nun könnte man ja diese Takte bis in das Unendliche erweitern, indem wir jeweils immer mit der nächstgrößeren Primzahl multiplizieren, das sähe dann so aus:
2 x 3 = ein 6er Takt
2 x 3 x 5 = ein 30er Takt
2 x 3 x 5 x 7 = ein 210er Takt
2 x 3 x 5 x 7 x 11 = ein 2310er Takt
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 = ein 30030er Takt
u.s.w...
Dabei fällt auf, dass diese Takte sehr schnell unübersichtlich groß werden, weshalb diesen oberhalb der 30 bisher keine Bedeutung beigemessen wurde.
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Hier muss man sich noch einmal vor Augen halten: Was ist am 6er-Takt besonders?
Im 6er-Takt ist die vollständige "Architektur"
der Zwillingsbildung der Primzahlen begründet, alle weiteren ab der
Ziffer 5, also 30, weisen zunehmend entsprechende Lücken auf.
Was also übrigbleibt, sind unregelmäßig
verteilte Primzahlzwillinge, oder einzeln
stehende Primzahlen, die um so seltener
werden, je weiter es in die höheren Zahlengefilde geht.
Deshalb ist der 6er-Takt Basis
für folgende Betrachtung:
TETRAKTYS PART 2 – DIE "UNORDNUNG"
DER PRIMZAHLEN
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