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"Prime numbers are what is left
when you have taken all the
patterns away."
Mark Haddon, The Curious Incident of the Dog
in the Night-Time , page 12
Die Tabelle rechts zeigt das Muster zwischen den Primzahlen. Die X-Achse = Zahlenstrahl,Y-Achse = Teiler (und umgekehrt!). Der Inhalt der Tabelle zeigt alle entsprechenden Quotienten.
Als ich im Jahr 2011 das Zahlenlambdoma
zum ersten Mal auf dieser Seite zeigte, suchte
ich vergeblich nach ähnlichen Darstellungen im
Internet. Das verwunderte mich sehr, da mir
persönlich diese Tabelle sehr geholfen hat,
Zusammenhänge zu erfassen, die weit über die
Primzahlproblematik hinausgehen.
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Bis mich am 18. Oktober 2013 eine Mail von
einem Leser erreichte, der mich auf folgenden
sehr empfehlenswerten Link hinwies:
divisorplot.com
Da ist die Zahlentabelle vereinfacht so dargestellt wie hier rechts abgebildet. Statt der Quotienten mit den entsprechenden Zahlenbrüchen werden lediglich die Teiler zeilenweise dupliziert angezeigt.
Diese Darstellungsweise ist sehr geeignet, um das Prinzip vom Sieb des Eratosthenes auf höchst elegante Weise anschaulich zu machen.
Direkt darunter sehen Sie die selbe Tabelle mit den hervorgehobenen Primzahlen. Das Verständnis dieser Abbildung int ungemein hilfreich für die folgenden Betrachtungen.
Das System hinter den Primzahlen kann man nur begreifen, wenn man das gesamte "Muster"
untersucht, das sich zwischen den Primzahlen
befindet, welches auch alle Zahlenbrüche
umfasst und – was überhaupt das wichtigte ist – die dahinter stehende Geometrie veran-
schaulicht. Denn:
diese Zahlentabelle ist nichts geringeres, als
das so genannte Lambdoma der Musiktheorie
und der Harmonik. Somit öffnen sich weitere
interessante Themen, die direkt in die Physik
münden.
Hier finden Sie interessante Einzelheiten zum Lambdoma aus physikalischer Sicht:
ALLES IST ZAHL – ALLES IST FREQUENZ
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Das Lambdoma ist das wichtigste Diagramm sowohl in der harmonikalen Forschung als auch der Musiktheorie.
Näheres zu den musiktheoretisch, harmonikalen Zusammenhängen finden Sie unter:
DAS LAMBDOMA – HARMONIK & TETRAKTYS
Hier auf dieser Seite wollen wir nun das Lambdoma unter zahlentheoretischen Gesichtspunkten
betrachten.
In der Mathematik wurde das Lambdoma unter dem Namen "Diagonalverfahren" bekannt.
Georg Cantor verwendete es, um die Abzählbarkeit der rationalen und die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen zu beweisen. Zu erklären was nun damit gemeint sein könnte, überlasse ich Wikipedia.
Im Folgenden soll es um die Primzahlproblematik, gehen – gewürzt mit einem Schuss "Mystik",
um diese überaus interessanten und wichtigen Zusammenhänge etwas schmackhafter zu machen.
Das Lambdoma zeigt ein 45 Grad gekipptes
Koordinatensystem, deren x- und y-Achse
jeweils die Zahlengerade bis unendlich
enthalten.
Die einzelnen Positionen innerhalb des
Koordinatensystems zeigen die daraus
resultierenden, jeweiligen Zahlenbrüche.
Die namensgebende dreieckförmige Darstellung
des Lambdomas (benannt nach der dreieckigen
Form des griechischen Buchstabens Lambda)
soll die ihm innewohnende Symmetrie
anschaulich machen.
Soweit ganz einfach.
Niemand sollte sich aber von dieser simplen und
zwingend logischen Anordnung der Zahlenbrüche
täuschen lassen, denn bei genauer Betrachtung
entpuppt sich das System als komplexe Matrix,
von der ich behaupte, dass ein Zahlentheoretiker
ohne das Wissen um die Architektur dieser Matrix
schwer benachteiligt ist.
Ein Mathematiker der diese Zahlenmatrix zwar
kennt, nicht aber die dahinter stehende Geometrie,
kann wiederum nicht die Bedeutungsschwere der
daraus resultierenden Zusammenhänge
abschätzen.
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Diese Behauptungen mögen provozieren
– was auch meine Absicht ist!
Im Folgendem wollen wir uns nun an die
zahlentheoretischen Grundlagen dieser Matrix
rantasten.
Die linke Koordinate zeigt Zahlenbrüche beginnend bei 1/1, welche sich im weiteren Verlauf bis unendlich verkleinern.
Die rechte Koordinate zeigt alle natürlichen Zahlen dargestellt als Brüche, die sich bis unendlich vergrößern.
Trifft die Zahlengerade des unendlich Kleinen mit der Zahlengerade des unendlich Großen in der Mitte aufeinander, so ergeben beide Zahlengeraden bis unendlich immer den Wert 1, also: 1/1, 2/2 3/3 usw....
Um diesen wichtigen Tatbestand hervorzuheben, sind diese Brüche dunkel markiert.
Wir haben also eine Symmetrie, die genau
in der Mitte auf den Wert 1 ausbalanciert ist.
Der Wert 1 ist die Symmetrieachse.
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Multipliziert man alle Brüche zeilenweise , ergibt dies immer den Wert 1.
Des Weiteren sind jene Werte, welche bis
unendlich 1/2 und 2/1 ergeben, ebenfalls optisch
hervorgehoben. Warum?
Man könnte ja schließlich denken, dass diese weitere Unterteilung keinerlei größere Bedeutung hat, da man die jeweiligen Bereiche ohnehin immer weiter in gleich große Teile teilen kann.
Dem ist nicht so, denn nur die Brüche oberhalb von 2/1 beschreiben die Teilbarkeit natürlicher ganzer Zahlen und genau in diesem vierten(!) Bereich des Lambdomas sind wir mitten drin
in der Tetraktys (=4!) und den Primzahlen
Weiter unten wird das deutlich werden.
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Schauen wir uns nach weiteren Gesetzmäßigkeiten im Zahlenlambdoma um.
Die größte Dichte aufeinanderfolgender Brüche hat die Symmetrieachse des Lambdomas, wo senkrecht jeder nachfolgende Bruch den Wert 1 ergibt, also 1/1, 2/2, 3/3 usw.....
Bei den Achsen 1/2 und 2/1 ist es nur noch jeder zweite aufeinander folgende Bruch, der jeweils den gleichen Wert hat, usw...
Markieren wir nun alle Werte, welche sich
wiederholen, dann entsteht ein perfekt
symmetrisches Muster!
Dieses symmetrische Muster bildet die Basis der Matrix, die wir nun weiter untersuchen wollen.
Ein wenig erinnert dieses Diagramm an das Pascalsche Dreieck, welches wiederum der Struktur nach identisch mit dem Sierpinskidreieck ist.
Und natürlich gibt es auch zu dieser Matrix
interessante Verknüpfungen und Entsprechungen, Siehe:
SIMPLEX
– MULTIDIMENSIONALE TETRAEDER.
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Hier nun eine Verkleinerung der Felder in denen sich
die jeweiligen Werte befinden. Aus Darstellungs-
gründen verzichten wir auf die Benennung der Zahlenbrüche.
Jetzt offenbaren sich weitere wiederholende Strukturen dieses symmetrischen Musters.
Beispielsweise kann man nun die
konsequente Wiederholung des 6er-Taktes
der Primzahlzwillingsbildung, inklusive der
Pseudoprimzahlen erkennen!
Primzahlen in der Zahlengerade von Zähler und Nenner erkennt man daran, dass alle resultierenden Brüche
bis unendlich immer wieder neue Zahlenwerte zeigen,
mit Ausnahme der Symmetrieachse des Lambdomas, die immer den Wert 1 hat, also 2/2, 3/3, 5/5, 7/7, 11/11, 13/13 usw…
Anders ausgedrückt: Primzahlen haben in dieser
Grafik mit Ausnahme der Mittelachse (Wert1) keine
dunklen Felder. Dies betrifft jedoch nicht die so genannten Pseudoprimzahlen, die mit der Ziffer 25 beginnen.
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Wir erinnern uns: Wenn irgendwo im Zahlenstrahl bis unendlich eine Primzahl auftritt, dann ist diese immer innerhalb des 6er Taktes nach Leibnitz geordnet.
Mit Ausnahme der 2 und 3 ( ! )
Aus diesem 6er Takt resultiert bekanntermaßen auch die Primzahlzwillingsbildung.
Nebenstehende Grafik zeigt, dass eben auch die Pseudoprimzahlen ab der Ziffer 25 (also 25,35,49,55 usw.) in dieser 6er Matrix geordnet sind.
Die Konsequenz daraus ist, dass man diese Pseudoprimzahlen nicht außer Acht lassen sollte, wenn man dem "Mysterium" der Primzahlverteilung auf dem Grund gehen will, denn sie ordnen jeder allein stehenden Primzahl "ihren" Zwilling zu.
In dieser Hervorhebung der Primzahlzwillingsbildung kann man noch viele weitere Details erkennen.
Um aber den roten Faden nicht zu verlieren,
wenden wir uns dem nächsten wichtigen
Sachverhalt zu. |
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Es gibt nur genau drei Möglichkeiten, wie natürliche Zahlen mit ihren jeweiligen Teilern
zueinanderin Beziehung stehen. Diese sind: |
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Die rechts gezeigte Darstellung eines Lambdomas
zeigt nun die entsprechenden Positionen dieser drei Teilbarkeitskonstellationen, gemäß der oben
stehenden Farblegende.
Hier wird nun deutlich, dass alle teilerfremden,
rot markierten Konstellationen auch jene Zahlenbrüche sind, die jeweils zum ersten Mal im Lambdoma auftreten.
Diese ersten, im wahrsten Sinne des Wortes
"primen" Konstellationen korellieren auch
mit der Zwillingsbildung der Primzahlen,
sowohl in der x- als auch y-Achse des
Koordinatensystems.
Die restlichen beiden beige-gelb und blau
markierten Konstellationen sind spiegel-
symmetrisch, deckungsgleich.
Die Animation rechts oben soll das
verdeutlichen!
Man achte beim Betrachten dieser Animation,
dass sich mit den Farbfeldern selbstverständlich
auch die entsprechenden, darunter stehenden
Brüche ändern müssen, also:
1/n und n/1 sowie 1/2 und 2/1.
1/2 und 2/1 entspricht dem Verhältnis 1 zu 4 !
Hier wird nun offensichtlich, warum das
Teilbarkeitsergebnis 2, also 2/1 und sein
reziproker Wert 1/2 das Lambdoma in vier
gleiche Teile – in eine Tetraktys teilt.
Siehe Animation rechts unten.
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Nur die beige-gelb gefärbten Felder "n ist mit dem
Teiler teilbar" präsentieren jene ganzzahligen
Teilbarkeitsergebnisse, mit denen das Sieb des
Eratosthenes alle Nicht-Primzahlen in die
entsprechenden Primfaktoren zerlegt.
Und nur genau dieses eine Viertel des
Lambdomas ist absolut identisch mit der
Geometrie der Simplexe.
Schauen Sie unter folgendem Link:
SIMPLEX –
DER FESTE AGGREGATZUSTAND DER ZAHL
Über diese grundsätzlichen Eigenschaften
innerhalb des unendlich großen und unendlich
kleinen Zahlenraumes und ihre Entsprechung
in der Kreisgeometrie sollte man wirklich länger
nachdenken/meditieren.
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Die Übereinstimmung der Farbcodierung wurde
von mir also nicht zufällig gewählt.
Und es muss auch nicht verwundern, dass sich
die Dreiteilung der Zahl, innerhalb derer die Primzahlzwillingsbildung begründet ist, auch auf den "fraktalen Unterraum" der natürlichen Zahlen, den entsprechenen Zahlenbrüchen auswirkt.
Betrachten Sie nun die darunter stehende
Divisionstabelle aufmerksam. Die oben stehend, waagerechte x-Achse des Koordinatensystems zeigen den n-Zahlenstrahl,
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Hier nun ein wichtiger Sachverhalt, den zumindest derjenige Leser schon erahnt, der die ersten Seiten der Rubrik "Zahlentheorie" mental nachvollziehen konnte:
Die drei Teilbarkeitskonstellationen
korellieren direkt mit der Dreiteilung des Zahlenstrahls bis unendlich, innerhalb derer
auch die Zwillingsbildung der Primzahlen
begründet ist siehe:
TETRAKTYS PART 1
– DIE ORDNUNG DER PRIMZAHLEN
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die links stehende, senkrechte y-Achse zeigt
denn-Strahl in der Teilerposition.
Achten Sie auf den 4er-Takt der >blauen<
Codierungen im Koordinatensystem und wo
sie oberhalb der Quotienten 2 beginnen,
nämlich ab der Ziffer 10 und dem Teiler 4!
Achten Sie weiter auf den 6er-Takt der Primzahlzwillinge links und rechts der 6-teilbaren, geraden Zahlen =12er Symmetrien.
Etwas schwieriger zu durchschauen sind die
blauen 3er Strukturen, welche anfangs noch dem
6er Takt folgen, da sich hier nun die Muster überlagern.
Die daraus resultierenden Unregelmäßigkeiten sind nur optisch vordergründig chaotisch. Der äußere Schein trügt.
Wahr ist:
Die Primzahlen sind unregelmäßig verteilt!
Falsch dagegen ist:
zu behaupten, es gäbe kein klar definiertes System hinter diesen Unregelmäßigkeiten.
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Farblegende der n-Zahlengeraden
(x- und y-Achse des Koordinatensystems) |
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Farblegende der Zahlenbrüche
(Inhalt des Koordinatensystems) |
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Lesen Sie nun bitte weiter unter: DAS SIEB DES ERATOSTHENES & DIE TETRAKTYS
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